Dans le plan, on considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) non-alignés. Une droite \(\mathcal{D}\) coupe les droites \((BC)\), \((AC)\) et \((AB)\) en \(A'\), \(B'\) et \(C'\) respectivement. Par \(A'\) on mène les parallèles à \((AB)\) et \((AC)\) qui coupent respectivement aux points \(E\) et \(F\) la parallèle à \((BC)\) menée par \(A\). Montrer que les droites \((B'E)\) et \((C'F)\) sont parallèles.
( ).
Le problème est indépendant du repère choisi, à vous donc de choisir un bon repère...

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[ID: 138] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 303
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28

Faire un dessin !

  • Choix du repère : \(\mathcal{R} = (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Dans ce repère, \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right.}\). Comme \(B'\) est sur la droite \((AC)\), il existe \(b \in \mathbb{R}\) tel que \(B' \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\b \end{matrix}\right.}\). De même, il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(C' \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\).

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D} = (B'C')\) : un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) est sur cette droite si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'M}, \overrightarrow{B'C'})=0\), c’est-à-dire \(\boxed{(B'C')~: bx+cy-bc=0}\).

  • On calcule de même l’équation de la droite \((BC)\) et l’on trouve \(\boxed{(BC)~: x + y - 1 = 0}\).

  • Coordonnées de \(A' \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) : puisque \(A'\) est sur la droite \((B'C')\) et sur \((BC)\), ses coordonnées vérifient le système \(\begin{cases} x + y &= 1 \\ bx+cy&=bc\end{cases}\). On en tire \(\boxed{A' \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{matrix}\right.}}\). On remarque que le cas où \(b = c\) correspond à une droite \(\mathcal{D}\) parallèle à \((BC)\) ce qui est exclu par l’énoncé.

  • Équation cartésienne de la droite \(\mathcal{D}'\), parallèle à \((BC)\) passant par \(A\) : on trouve \(\boxed{\mathcal{D}'~: x + y = 0}\).

  • Coordonnées de \(E\) : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(E = A' + \lambda \overrightarrow{AB}\), c’est-à-dire \(\begin{cases} x &= \dfrac{c(1-b)}{c-b} + \lambda \\ y &= \dfrac{b(1-c)}{b-c} \end{cases}\). Puisque \(E \in \mathcal{D}'\), \(x+y=0\) et on en tire que \(\boxed{E \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(1-c)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Coordonnées de \(F\) : de la même façon, en écrivant \(F = A' + \lambda \overrightarrow{AC'}\), on trouve que \(\boxed{F \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-b)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\).

  • Pour montrer que \((B'E)\) et \((C'F)\) sont parallèles, calculons \(\boxed{\overrightarrow{B'E} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{b(1-c)}{c-b} \\ \dfrac{b(b-1)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{\overrightarrow{C'F} \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{c(1-c)}{c-b} \\ -\dfrac{c(1-b)}{c-b} \end{matrix}\right.}}\). Ensuite, calculons le déterminant \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{B'E}, \overrightarrow{C'F}) = \dfrac{1}{(c-b)^2}\bigl[ -bc(1-c)(1-b) - bc(b-1)(1-c)\bigr] = 0\) après simplifications. Le résultat est montré.


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