On considère deux droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) non parallèles et d’équations normales respectives: \[x\cos \theta+ y \sin \theta - p=0 \textrm{ et } x\cos \theta'+ y \sin \theta' - p'=0\]\(p,p'\in\mathbb{R}\) et \(\theta,\theta'\in\mathbb{R}\), \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\).

  1. Déterminer une équation normale de chacune de leurs bissectrices1.

  2. Montrer que si \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont des vecteurs unitaires qui dirigent les droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}\) et \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u'}\) dirige chacune de ces deux bissectrices.

  3. Montrer que ces deux bissectrices sont perpendiculaires.


  1. 1  Voir la note 1

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[ID: 136] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Bissectrices de deux droites
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28
  1. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} & M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ \Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ \Longleftrightarrow& \dfrac{\left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right|}{\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta} = \dfrac{\left|x\cos \theta' + y\sin\theta' -p'\right|}{\cos ^2 \theta' + \sin^2 \theta'}\\ \Longleftrightarrow& \left|x\cos \theta + y\sin\theta -p\right| = \left|x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right|\\ \Longleftrightarrow& x\cos \theta + y\sin\theta -p = {x\cos \theta' + y\sin\theta'} -p' \quad \textrm{ ou} \quad x\cos \theta + y\sin\theta -p = -\left(x\cos \theta' + y\sin\theta'-p'\right) \\ \Longleftrightarrow& \left(\cos \theta - \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta - \sin \theta'\right)y = p-p' \quad \textrm{ ou} \quad\left(\cos \theta + \cos \theta'\right) x + \left(\sin \theta + \sin \theta'\right)y = p+p'\\ \Longleftrightarrow& -2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} x + 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} y=p-p' \quad \textrm{ ou} \quad 2\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}x + 2\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}y =p+p'\\ \Longleftrightarrow& -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} } \quad \textrm{ ou} \quad\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y = \dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}\\\end{aligned}\] ce qui est licite car \(\theta\neq \theta'~\left[\pi\right]\). Les équations des deux bissectrices sont donc : \[\boxed{-\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} x + \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} y=\dfrac{2\left(p-p'\right)}{\sin {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2} }} \quad \boxed{\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}x + \sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2}y =\dfrac{2\left(p+p'\right)}{\cos {\scriptstyle\theta - \theta'\over\scriptstyle 2}}}\] Ces deux équations sont de plus normales.

  2. Comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u}'\) sont unitaires, on peut supposer que \(\overrightarrow{u}=\left(\cos \theta,\sin\theta\right)\) et que \(\overrightarrow{u}'=\left(\cos \theta',\sin\theta'\right)\) alors \[\overrightarrow{u} +\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta+\cos\theta',\sin\theta+\sin\theta'\right)=2\cos{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( \cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige clairement la première bissectrice. De même : \[\overrightarrow{u} -\overrightarrow{u}'=\left(\cos\theta-\cos\theta',\sin\theta-\sin\theta'\right)=2\sin{\scriptstyle\theta-\theta'\over\scriptstyle 2 } \left( -\sin {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2},\cos {\scriptstyle\theta + \theta'\over\scriptstyle 2} \right)\] qui dirige la deuxième.

  3. Comme \(\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'\right).\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}'\right)=\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2 -\left\|\overrightarrow{u}'\right\|^2=0\), les deux bissectrices sont perpendiculaires.


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