On considère deux droites \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\) d’équations respectives: \[D:~ 3x+4y+3=0 \textrm{ et } D':~12x-5y+4=0\].

  1. Montrer que ces deux droites sont sécantes.

  2. Déterminer une équation de chacune de leurs bissectrices1.


  1. 1  Rappelons qu’un point est sur une bissectrice de deux droites si et seulement si les distances de ce point à chacune des deux droites sont égales

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[ID: 134] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 163
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:27
  1. Un vecteur directeur de \(D\) est \(\overrightarrow{u}\left(-4,3\right)\) et un vecteur directeur de \(D'\) est \(\overrightarrow{u}'\left(5,-12\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc ces deux droites ne sont pas parallèles.

  2. Soit \(M\left(x,y\right)\) un point du plan. On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} && M \textrm{ est un point d'une des bissectrices aux deux droites} \\ &\Longleftrightarrow& d\left(M,\mathcal D\right) = d\left(M,\mathcal D'\right)\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{\left|3x+4y+3\right|}{5}=\dfrac{\left|12x-5y+4\right|}{13}\\ &\Longleftrightarrow& 13\left(3x+4y+3\right)=5\left(12x-5y+4\right) \textrm{ ou } 13\left(3x+4y+3\right)=-5\left(12x-5y+4\right)\\ &\Longleftrightarrow& -21x+77y+19=0 \textrm{ ou } 99x +27y+59=0.\end{aligned}\] Donc les bissectrices ont pour équation \(\boxed{-21x+77y+19=0}\) et \(\boxed{99x +27y+59=0}\).


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