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[ID: 132] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 436
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:27

1. Comme \(\overrightarrow{AD}=\left(4,-2\right)\) et \(\overrightarrow{BC}=\left(8,-4\right)\) il est clair que \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}\) et que les droites \(\left(AD\right)\) et \(\left(BC\right)\) sont parallèles. Par suite, \(ABCD\) est un trapèze.

2. On calcule une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\). Cette droite est dirigée par \(\overrightarrow{AC}=\left(3,-9\right)\) ou encore par le vecteur \(\overrightarrow{u}=\left(1,-3\right)\). Un vecteur normal à cette droite est donc \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\). Une équation cartésienne de \(\left(AC\right)\) est donc de la forme \(3x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\left(AC\right)\), il vient que \(c=0\). Donc \(\left(AC\right):~ 3x+y=0\). On montre de même que \(\left(BD\right):~ -x+3y=0\). On remarque que ces deux droites passent par l’origine du repère donc leur point d’intersection est \(O\).

3. Un vecteur normal à \(\left(AC\right)\) est \(\overrightarrow{n}=\left(3,1\right)\) et un vecteur normal à \(\left(BD\right)\) est \(\overrightarrow{n}'=\left(-1,3\right)\). Il est clair que \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n}'=0\) et donc que les diagonales sont perpendiculaires.

4. On utilise la formule vue au collège. Si \(\mathcal A\) désigne l’aire de \(ABCD\) alors \(\mathcal A=\left(\textrm{ petite base} + \textrm{ grande base}\right)\times \textrm{ hauteur}/2\). On sait que \(\textrm{ petite base}=\left\|\overrightarrow{AD}\right\|=2\sqrt 5\) et \(\textrm{ grande base}=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|=4\sqrt 5\). De plus \[\textrm{ hauteur}=d\left(A,\left(BC\right)\right)=\dfrac{\left|\mathop{\rm det}{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}}\right|}{\left\|BC\right\|} =\dfrac{\left|\left| \begin{array}{ll} -5 & 8\\ -5 & -4 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{\left|-20\left| \begin{array}{ll} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array} \right|\right|}{4\sqrt 5}=\dfrac{60}{4\sqrt 5}\] et \(\mathcal A=45\).