Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right.}\). Parmi toutes les droites passant par \(\Omega\), déterminer celles qui sont à distance \(1\) du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\4 \end{matrix}\right.}\).


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[ID: 128] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 901
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:27

On peut décrire toutes les droites passant par \(\Omega\) (sauf la droite verticale) à l’aide d’un seul paramètre, la pente \(m\). L’équation cartésienne d’une telle droite \(\mathcal{D}_m\) est donc \((y-2)=m(x-1)\), c’est-à-dire \(\boxed{\mathcal{D}_m~: mx - y + (2-m) = 0}\). La distance du point \(A\) à la droite \(\mathcal{D}_m\) est alors donnée par la formule : \[d(A, \mathcal{D}_m) = \dfrac{\lvert -m-4+2-m \rvert }{\sqrt{m^2+1}} = \dfrac{2\lvert m+1 \rvert }{\sqrt{m^2+1}}\] Cette distance vaut \(1\) si et seulement si \(4(m+1)^2 = m^2+1\), c’est-à-dire \(3m^2+8m+3=0\), et on trouve les deux pentes solutions, \(m_1 = \dfrac{-4+\sqrt{7}}{3}\) et \(m_2 = \dfrac{-4-\sqrt{7}}{3}\). On vérifie ensuite que la droite verticale passant par \(\Omega\) ne convient pas en écrivant son équation cartésienne \(x=1\) et en calculant la distance de \(A\) à cette droite qui vaut \(2\).


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