Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-2 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\3 \end{matrix}\right.}\).

  1. Écrire une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  2. Déterminer la distance du point \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right.}\) à la droite \((AB)\).

  3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(C\) sur \(\left(AB\right)\).

  4. Retrouver la distance du point \(C\) à la droite \((AB)\) en utilisant la question précédente.


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[ID: 126] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 992
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:27
  1. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point du plan. Il appartient à la droite \((AB)\) si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0\), ce qui donne une équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{(AB)~: 5x+3y+1=0}\).

  2. Avec la formule du cours, \(d(C, (AB)) = \dfrac{\lvert 5+3+1 \rvert }{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{34}}\).

  3. Comme \(\overrightarrow{n}=\left(5,3\right)\) est normal à \(\left(AB\right)\), il dirige \(\left(CH\right)\) et une équation paramétrique de \(\left(CH\right)\) est \(\left(CH\right)~:\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t \end{cases}\). Les coordonnées de \(H\) sont solutions du système : \[\begin{cases}x&=1+5t\\y&=1+3t\\5x+3y+1&=0 \end{cases}.\] On trouve \(t=-9/34\), \(x=-11/34\) et \(y=7/34\). Donc \(H\left(-11/34,7/34\right)\).

  4. Il suffit de calculer la norme de \(\overrightarrow{CH}=\left(45/34,27/34\right)\), on trouve \(\left\|\overrightarrow{CH}\right\|=\sqrt{81/34}=9/\sqrt{34}\).


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