On rapporte le plan à un repère orthonormal direct. On considère les points \(A(-1,-1)\), \(B(2,3)\) et \(C(3,-3)\).

  1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

  2. En déduire la distance de \(A\) à la droite \((BC)\).

  3. Former une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

  4. En déduire la longueur de la hauteur issue de \(C\) et retrouver l’aire du triangle \(ABC\).


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[ID: 124] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 732
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:27
  1. L’aire de \(ABC\) est donnée par : \({\scriptstyle\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|\over\scriptstyle 2} = {\scriptstyle 22\over\scriptstyle 2}=\boxed{11}\).

  2. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). \(\left(AH\right)\) est donc une hauteur de \(ABC\) et l’aire de \(ABC\) est aussi donnée par : \({\scriptstyle BC \times AH\over\scriptstyle 2}\). Comme \(BC=\sqrt{37}\), on trouve : \(\boxed{AH={\scriptstyle 22\sqrt{37}\over\scriptstyle 37}}\).

  3. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\left(3,4\right)\) dirige la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent, une équation de \(\left(AB\right)\) est \(\boxed{-4x+3y-1=0}\).

  4. La longueur de la hauteur issue de \(C\) est la distance de \(C\) à la droite \(\left(AB\right)\). Par conséquent : \(d\left(C,\left(AB\right)\right) = \dfrac{\left|-4x_C+3y_C-1\right|}{5}=\boxed{\dfrac{22}{5}}\). L’aire du triangle \(ABC\) est alors donnée par : \(\dfrac{AB \times d\left(C,\left(AB\right)\right)}{2} = \dfrac{5 \times \dfrac{22}{5}}{2} = \boxed{11}\).


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