Calculer une équation cartésienne puis une équation paramétrique de la droite \(\mathcal D\) :

  1. passant par \(A\left(2,1\right)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}=\left(1,-1\right)\).

  2. passant par \(A\left(-1,0\right)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}=\left(1,-2\right)\).

  3. passant par \(A\left(1,2\right)\) et \(B\left(-2,3\right)\).

  4. passant par l’origine et parallèle à la droite \({\mathcal D} '~: x+y-1=0\).

  5. passant par \(A\left(1,1\right)\) et perpendiculaire à la droite \({\mathcal D} '~: \begin{cases} x&=1+2t\\y&=-1+t\end{cases};t\in\mathbb{R}\).


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[ID: 120] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:27] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 828
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:27
  1. Comme \(\mathcal D\) admet \(\overrightarrow{n}\) comme vecteur normal, une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x-y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in \mathcal D\), on a \(c=-1\) et \(\mathcal D~: x-y-1=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est celui de coordonnées \(\left(1,1\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=2+t\\y&=1+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  2. Comme \(\mathcal D\) est dirigée par \(\overrightarrow{u}\) elle admet comme vecteur normal celui de coordonnées \(\left(-2,-1\right)\) ou encore \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\). Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c= 0\)\(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), il vient que \(c=2\) donc \(\mathcal D~:2x+y+2=0\). Une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-1+t\\y&=-2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  3. Comme \(A\) et \(B\) sont des points de \(\mathcal D\), le vecteur \(\overrightarrow{AB}=\left(-3,1\right)\) dirige \(\mathcal D\) et le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,3\right)\) dirige \(\mathcal D\). Une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est alors de la forme \(x+3y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\), on trouve que \(c=-7\) et finalement \(\mathcal D~:x+3y-7=0\). On trouve par ailleurs qu’une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-3t\\y&=2+t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  4. Comme \(\mathcal D\) et \(\mathcal D '\) sont parallèles, le vecteur \(\overrightarrow{n}=\left(1,1\right)\) normal à \(\mathcal D'\) est aussi normal à \(\mathcal D\) et donc une équation cartésienne de \(\mathcal D\) est de la forme \(x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(O\in \mathcal D\), \(c=0\) et \(\mathcal D~: x+y=0\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,1\right)\) et une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=-t\\y&=t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).

  5. Un vecteur directeur de \(\mathcal D '\) est \(\overrightarrow{n}=\left(2,1\right)\) qui est normal à \(\mathcal D\) car les deux droites sont perpendiculaires. Une équation de \(\mathcal D\) est donc de la forme \(2x+y+c=0\) avec \(c\in\mathbb{R}\). Comme \(A\in\mathcal D\) alors \(c=-3\) et \(\mathcal D~: 2x+y-3=0\). Un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}=\left(-1,2\right)\) donc une équation paramétrique de \(\mathcal D\) est \({\mathcal D} ~: \begin{cases} x&=1-t\\y&=1+2t\end{cases}; t\in\mathbb{R}\).


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