Soit une fonction \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). Déterminer la limite lorsque \(x\rightarrow 0\) de la fonction définie pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \[I(x) = \int_0^x \dfrac{x}{x^2+t^2}f(t) \mathrm{ \;d}t .\]

Faire un changement de variables qui fera apparaître la variable \(x\) à l’intérieur de \(f\).

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[ID: 1918] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 909
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32

Par le changement de variables \(t=xu\), on trouve que \[I(x) = \int_0^1 \dfrac{f(xu)}{1+u^2} \mathrm{ \;d}u\] Montrons que \(I(x) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} f(0)\pi / 4\). Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(f\) est continue au point \(0\), il existe un réel \(\alpha>0\) tel que \(\forall x\in [0,\alpha]\), \(\lvert f(x)-f(0) \rvert \leqslant\varepsilon\). Soit alors \(x\in [0,\alpha]\), \[\left\vert I(x)-f(0)\int_0^1 \dfrac{du}{1+u^2}\right\vert \leqslant\int_0^1 \dfrac{ \lvert f(ux)-f(0) \rvert }{1+u^2} \mathrm{ \;d}u \leqslant\varepsilon\] En effet, si \(u \in [0, 1]\), on a \(0\leqslant ux \leqslant x \leqslant\alpha\) et donc \(\dfrac{\lvert f(ux) - f(0) \rvert }{1+u^2} \leqslant\varepsilon\), ce qui permet de majorer l’intégrale et d’aboutir au résultat.


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