Soit une fonction \(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continue et un réel \(a\in[0,1]\). Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n = \int_0^1 f(ax^n) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1916] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 615
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32

Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(f\) est continue en \(0\), il existe \(\eta>0\) tel que si \(\left|x\right|\leqslant\eta\) alors \(\left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|\leqslant \varepsilon\). Pour tout \(c\in\left]0,1\right[\), on a : \[\begin{aligned} \left|I_n-f\left(0\right)\right|\leqslant\int_{0}^{c} \left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right)\right|\,\textrm{d}x+\int_{c}^{1} \left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right)\right|\,\textrm{d}x \end{aligned}\]

  • Il est clair que \(\lim_{c\rightarrow 0^+} \int_{c}^{1} \left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right)\right|\,\textrm{d}x =0\). On peut alors fixer \(c\in\left]0,1\right[\) en sorte que \(\int_{c}^{1} \left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right)\right|\,\textrm{d}x\leqslant\varepsilon\).

  • Comme \({c}^n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il existe \(N\in\mathbb{N}\) tel que pour tout \(n\geqslant N\), on a \(0\leqslant a{c}^n \leqslant\eta\). Comme \(0\leqslant x \leqslant{c}\), on a \(a x^n\in\left[0,\eta\right]\). Il vient alors : \(\left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right) \right|\leqslant\varepsilon\) et \(\int_{0}^{c} \left|f\left(ax^n\right) - f\left(0\right)\right|\,\textrm{d}x\leqslant{c} \varepsilon\leqslant\varepsilon\). car \(c\in\left]0,1\right[\).

Au final, pour \(n\geqslant N\), on a : \(\left|I_n-f\left(0\right)\right|\leqslant 2 \varepsilon\) et donc \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f\left(0\right)}\).


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