Soit une fonction \(f:[0,1] \rightarrow R\) continue. Trouver la limite des suites de terme général :

  1. \(H_n=\int_{0}^{1} x^n f(x)\,\textrm{d}x\)

  2. \(I_n = n \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{ \;d}x\)


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[ID: 1914] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 367
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32
  1. La fonction \(f\) est continue sur \(\left[0,1\right]\) et est donc majorée sur \(\left[0,1\right]\) par \(M=\sup_{x\in [0,1]} \lvert f(x) \rvert\). On a alors \(\left|\int_{0}^{1} x^n f(x)\,\textrm{d}x\right| \leqslant M \int_{0}^{1} x^n\,\textrm{d}x={\scriptstyle M\over\scriptstyle n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc d’après le théorème des gendarmes, \(H_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).

  2. Remarquons que \(I_n= n\int_0^1 x^n \left[f(x)-f(1)\right] \mathrm{ \;d}x + n \int_0^1 x^nf(1) \mathrm{ \;d}x\). Par ailleurs :

    1. \(n\int_0^1 x^n f(1) \mathrm{ \;d}x = f(1) \dfrac{n}{n+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(1)\).

    2. Comme \(f\) est continue sur le segment \([0,1]\), \(f\) est bornée. Notons \(M=\sup_{x\in [0,1]} \lvert f(x) \rvert\). Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(f\) est continue au point \(1\), il existe \(c\in ]0,1[\) tel que \(\forall x\in [c,1]\), \(\lvert f(x)-f(1) \rvert \leqslant\varepsilon\). Alors \[\begin{aligned} \Bigl| n\int_0^1 x^n (f(x)-f(1)) \mathrm{ \;d}x \Bigr| & \leqslant n\int_0^1 x^n\lvert f(x)-f(1) \rvert \mathrm{ \;d}x \\ &\leqslant n\int_0^c x^n 2M \mathrm{ \;d}x + n\int_c^1 x^n \varepsilon\mathrm{ \;d}x \\ &\leqslant 2M\dfrac{n}{n+1}c^n + \dfrac{n}{n+1}(1-c^n)\varepsilon\\ & \leqslant 2M c^n + \varepsilon\end{aligned}\] Comme \(\lvert c \rvert <1\), la suite géométrique \((c^n)\) converge vers \(0\). Par conséquent, il existe \(N\in \mathbb N\) tel que \(\forall n\geqslant N\), \(\lvert n\int_0^1 x^n(f(x)-f(1)) \mathrm{ \;d}x \rvert \leqslant 2\varepsilon\). Donc, la première suite tend vers \(0\).

    En conclusion, \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f(1)}\).


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