On définit une fonction \(I\) en posant, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(I(x) = \dfrac{1}{x} \int_0^{\pi} \sin ( x^2 \sin t) dt\). Trouver la limite de \(I(x)\) lorsque \(x \rightarrow 0\).


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[ID: 1912] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 254
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32

Soit \(x\) un réel appartenant à un voisinage épointé de \(0\) inclus dans \(\left]-\sqrt{\pi/2},\sqrt{\pi/2}\right[\). Sur ce voisinage, \(\sin\) est strictement croissante. Pour tout \(t\in\left[0,\pi\right]\), on peut écrire : \(-x^2 \leqslant x^2 \sin t \leqslant x^2\) ce qui amène : \(\sin\left(-x^2\right) \leqslant\sin\left(x^2 \sin t\right) \leqslant\sin \left(x^2\right)\) et donc en passant à l’intégrale et en divisant par \(x\) en obtient : \[\pi\dfrac{\sin\left(-x^2\right)}{x} \leqslant I\left(x\right) \leqslant \pi\dfrac{\sin\left(x^2\right)}{x}.\] Mais comme \(\dfrac{\sin\left(x^2\right)}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}x\), d’après le théorème des gendarmes, il vient : \(\boxed{I\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0}\).


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