Soit la suite de fonctions \((g_n)\) définies sur \([0,1]\) par \(g_n(x)=0\) si \(x\in ]\dfrac{1}{n},1]\) et \(g_n(x)=n\) si \(x\in [0,\dfrac{1}{n}]\). Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n= \int_{0}^{1}f(t)g_n(t) \mathrm{ \;d}t\]


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[ID: 1910] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1004
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32

Soit \(\varepsilon>0\). Comme \(f\) est continue en \(0\), il existe \(\eta>0\) tel que \(\forall x\in\left[0,\eta\right],\quad \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|\leqslant\varepsilon\). Il existe aussi \(N\in\mathbb{N}\) tel que si \(n\geqslant N\) alors \(1/n\leqslant\eta\). Soit \(n\geqslant N\). On a : \[I_n=\int_{0}^{1} f\left(t\right)g_n\left(t\right)\,\textrm{d}t= \int_{0}^{1/n} f\left(t\right)g_n\left(t\right)\,\textrm{d}t+\int_{1/n}^{1} f\left(t\right)g_n\left(t\right)\,\textrm{d}t=\int_{0}^{ 1/n} nf\left(t\right)\,\textrm{d}t.\] Mais \[f\left(0\right)-\varepsilon=\int_{0}^{1/n} n\left(f\left(0\right)-\varepsilon\right)\,\textrm{d}t \leqslant\int_{0}^{ 1/n} nf\left(t\right)\,\textrm{d}t \leqslant\int_{0}^{1/n} n\left(f\left(0\right)+\varepsilon\right)\,\textrm{d}t =f\left(0\right)+\varepsilon\]

Donc \(\boxed{I_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}f\left(0\right)}\).


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