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Exercice 689
A l’aide de majorations simples, trouver les limites des suites suivantes :
\(I_n= \int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+e^{nx}}dx\) ;
\(I_n= \int_{0}^{1}\dfrac{e^{-nx}}{1+x}dx\) ;
\(I_n=\int_{0}^{1} x^n\sin (nx) dx\) ;
\(I_n= \int_{0}^{1} e^{-nx}(1+x^n)dx\) ;
\(I_n=\dfrac{1}{n} \int_{n}^{2n}\operatorname{arctan} x dx\);
\(I_n=\int_0^1 x^n \ln (1+x^2) dx\).
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[ID: 1906] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 689
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:32
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:32
Soit \(n\in\mathbb{N}\).
Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(0\leqslant{\scriptstyle x^n\over\scriptstyle 1+e^{nx}}\leqslant x^n\) donc par passage à l’intégrale : \(0\leqslant I_n\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}\) et d’après le théorème des gendarmes \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\).
Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(0\leqslant{\scriptstyle e^{-nx}\over\scriptstyle 1+x}\leqslant e^{-nx}\) donc par passage à l’intégrale : \(0\leqslant I_n\leqslant-{\scriptstyle e^{-n}-1\over\scriptstyle n}\) et d’après le théorème des gendarmes \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\).
Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(0\leqslant x^n\sin (nx) \leqslant x^n\) donc par passage à l’intégrale : \(0\leqslant I_n\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}\) et d’après le théorème des gendarmes \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\).
Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(0\leqslant e^{-nx}(1+x^n)\leqslant 2e^{-nx}\) donc en passant à l’intégrale, \(0\leqslant I_n\leqslant\dfrac{-2}{n}\left(e^{-n}+1\right)\) et par le théorème des gendarmes \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\).
Comme \(\operatorname{arctan}\) est croissante, pour tout \(x\in\left[n,2n\right]\), \(\operatorname{arctan} n \leqslant\operatorname{arctan} x \leqslant\operatorname{arctan} (2n)\) et il vient que : \(n\operatorname{arctan} n \leqslant\int_{n}^{2n}\operatorname{arctan} x dx \leqslant n\operatorname{arctan} (2n)\). On en déduit que \(\operatorname{arctan} n \leqslant I_n \leqslant\operatorname{arctan} (2n)\) et d’après le théorème des gendarmes : \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\).
Comme \(x\mapsto \ln\left(1+x^2\right)\) est croissante sur \(\left[0,1\right]\), on a : \[0\leqslant\int_{0}^{1} x^n \ln (1+x^2)\,\textrm{d}x \leqslant\ln 2 \int_{0}^{1} x^n \,\textrm{d}x=\dfrac{\ln 2}{n+1}\] donc par le théorème des gendarmes, \(\boxed{I_n\rightarrow 0}\).
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