Soit une fonction\(f:[0,1] \mapsto \mathbb{R}\) continue. Trouver la limite de la suite de terme général \[\int_0^1 \dfrac{f(x)}{1+nx} \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1904] [Date de publication: 12 mai 2021 12:32] [Catégorie(s): Limite de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 421
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:32

En notant \(M=\sup_{x\in [0,1]} \lvert f(x) \rvert\), \[\begin{aligned} \lvert I_n \rvert \leqslant M \int_0^1 \dfrac{dx}{\lvert 1+nx \rvert } \leqslant M \int_0^1 \dfrac{dx}{1+nx} \leqslant M\left[ \dfrac{ \ln(1+nx)}{n} \right]_0^1 \leqslant M\dfrac{\ln(n+1)}{n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0 \end{aligned}\] car \(\ln n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n\right)\)


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