Pour \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\), on note \(\overline{f}=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t) \mathrm{ \;d}t\) sa valeur moyenne. Montrer qu’il existe une constante \(C\) ne dépendant que de \(a\) et \(b\) telle que pour toute fonction \(f\in \mathcal{C}^{1}([a,b])\), \[\int_{a}^{b}\left| f(x)-\overline{f}\right|^2 \mathrm{ \;d}x \leqslant C \int_{a}^{b}(f'(x))^2 \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1902] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 876
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

D’après le théorème de la moyenne, il existe \(c\in [a,b]\) tel que \(\overline{f}=f(c)\). Pour tout \(x\in [a,b]\), on a \(f(x)=f(c)+ \int_{c}^{x}f'(t) \mathrm{ \;d}t\). Donc, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\left|f-\overline{f}\right|^2=\int_{c}^{x} f'\left(t\right)\,\textrm{d}t\leqslant \left(x-c\right)\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t.\] On intègre par rapport à \(x\) entre \(a\) et \(b\) cette inégalité : \[\begin{aligned} \int_{a}^{b} \left|f\left(x\right)-\overline{f}\right|^2\,\textrm{d}x&\leqslant& \int_{a}^{b} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant& \int_{a}^{c} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t\right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(x-c\right) \left(\int_{c}^{x} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t\right) \,\textrm{d}x \\ & \leqslant&\int_{a}^{c} \left(c-a\right) \left(\int_{a}^{c} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(b-c\right) \left(\int_{c}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant&\int_{a}^{c} \left(c-a\right) \left(\int_{a}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x + \int_{c}^{b} \left(b-c\right) \left(\int_{a}^{b} \left(f'\left(t\right)\right)^2\,\textrm{d}t \right) \,\textrm{d}x\\ &\leqslant&\left( (c-a)^2+(b-c)^2\right) \left( \int_a^b (f'(t))^2\,\textrm dt\right)\end{aligned}\] Enfin la fonction (convexe) \(c\mapsto (c-a)^2+(b-c)^2\) prend son maximum aux bornes \(a\) et \(b\) et l’inégalité est prouvée avec \(C= (b-a)^2\).


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