Soit une fonction convexe \(\varphi\) continue sur \(\mathbb{R}\).

  1. Si \(f\) est une fonction en escalier sur \([0,1]\), montrer que \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\]

  2. Si \(f\) est une fonction continue sur \([0,1]\), montrer que \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1900] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 63
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28
  1. Considérons une subdivision \(\sigma:x_0=0<\dots<x_n=1\) subordonnée à \(f\). Pour tout \(i\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), il existe \(c_i\in\mathbb{R}\) tel que \(f_{|\left]x_i,x_{i+1}\right[}=c_i\) et \(\int_{0}^{1} f\left(x\right)\,\textrm{d}x=\sum_{i=0}^{n-1}c_i\left(x_{i+1}-x_i\right)\). Remarquons que \(\sum_{i=0}^{n-1}\left(x_{i+1}-x_i\right) =1\). Comme \(\varphi\) est convexe, on peut alors écrire : \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) \mathrm{ \;d}x \right) =\varphi\left(\sum_{i=0}^{n-1}c_i\left(x_{i+1}-x_i\right)\right) \leqslant \sum_{i=0}^{n-1}\left(x_{i+1}-x_i\right) \varphi\left(c_i\right)= \int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x.\]

  2. Comme \(f\) est continue sur \(\left[0,1\right]\), il existe une suite \(\left(f_n\right)\) de fonctions en escaliers sur \(\left[0,1\right]\) qui converge uniformément vers \(f\) sur \(\left[0,1\right]\). Donc : \[\varphi \left( \int_{0}^{1}f(x) dx \right) = \varphi\left(\int_{0}^{1} \lim_{n\rightarrow+\infty} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x\right)=\varphi\left(\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right)=\lim_{n\rightarrow+\infty} \varphi\left(\int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right)\] car \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}\). Mais d’après la première question, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\varphi \left( \int_{0}^{1}f_n(x) \mathrm{ \;d}x \right) \leqslant\int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x\) donc par passage à la limite \[\lim_{n\rightarrow+\infty} \varphi\left(\int_{0}^{1} f_n\left(x\right)\,\textrm{d}x \right) \leqslant\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x.\] Comme \(\left(f_n\right)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\left[0,1\right]\) et que \(\varphi\) est, d’après le théorème de Heine, uniformément continue sur \(\left[0,1\right]\), \(\left(\varphi\circ f_n\right)\) converge uniformément vers \(\varphi\circ f\) sur \(\left[0,1\right]\) et : \[\lim_{n\rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x= \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi \circ f_n(x) \mathrm{ \;d}x=\int_{0}^{1}\varphi \circ f(x) \mathrm{ \;d}x\] ce qui prouve la propriété.


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