Soient deux fonctions strictement positives \(f,g \in \mathcal{C}^{0}([0,1])\). Montrer que \[\int_0^1 \left( \dfrac{f(t)}{g(t)}+\dfrac{g(t)}{f(t)} \right) \mathrm{ \;d}t \geqslant 2\]


Barre utilisateur

[ID: 1898] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 355
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\begin{aligned} 1 &= \int_0^1 \dfrac{f}{\sqrt{fg}}\dfrac{g}{\sqrt{fg}}(x) \mathrm{ \;d}x \\ &\leqslant\left[ \int_0^1\dfrac{f^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x\right]^{1/2} \times \left[ \int_0^1 \dfrac{g^2}{fg}(x)\mathrm{ \;d}x\right]^{1/2} \\ &\leqslant\dfrac{1}{2} \left[ \int_0^1 \dfrac{f^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x + \int_0^1 \dfrac{g^2}{fg}(x) \mathrm{ \;d}x \right] \\ &\leqslant\dfrac{1}{2} \int_0^1 \left( \dfrac{f}{g} + \dfrac{g}{f}\right) \mathrm{ \;d}x \end{aligned}\] Le résultat s’en suit. Pour avoir égalité, il faut qu’il y ait égalité dans Cauchy-Schwarz, donc que \(f/g\) et \(g/f\) soient proportionnelles, donc que \(f\) et \(g\) soient proportionnelles, et ensuite que \(\lambda = 1\), c’est-à-dire que \(f = g\).
Remarque : Pour \(u>0\), \(u+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle u} \geqslant 2\), d’où le résultat en prenant \(u=\dfrac{f(t)}{g(t)}\). Le cas d’égalité est simple.


Documents à télécharger