Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a<b\). Déterminer les fonctions \(f : [a, b] \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^4(x) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1896] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 131
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit une telle fonction \(f\). Utilisons l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[\Bigl| \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x \Bigr| = \Bigl| \int_a^b f(x) f^2(x) \mathrm{ \;d}x \Bigr| \leqslant \Bigl(\int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x \Bigr)^{1/2} \Bigl( \int_a^b f^4(x) \mathrm{ \;d}x \Bigr)^{1/2}\] En notant \(I = \int_a^b f^2(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^3(x)\mathrm{ \;d}x = \int_a^b f^4(x)\mathrm{ \;d}x\), on trouve donc le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz : \(I = \sqrt{I}\sqrt{I}\). On sait alors qu’il existe une constante \(\lambda \in \mathbb{R}\) telle que \(f^2 = \lambda f\). Donc \(\forall x \in [a, b]\), \(f(x) = 0\) ou bien \(f(x) = \lambda\). Supposons qu’il existe \(x_0 \in [a, b]\) tel que \(f(x_0) = 0\) et qu’il existe \(x_1 \in [a, b]\) tel que \(f(x_1) = \lambda\). Si \(\lambda \neq 0\) d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il devrait exister \(c \in [x_0, x_1]\) tel que \(f(c) = \lambda / 2\) ce qui est impossible. Par conséquent, la fonction \(f\) est constante sur \([a, b]\). On voit que cette constante vaut \(0\) ou \(1\). La réciproque est immédiate.


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