Soit l’ensemble \(E=\{ f\in \mathcal{C}([a,b]) \mid \forall x\in [a,b], f(x)>0 \}\). Déterminer \[\alpha = \inf_{f\in E} \left( \int_a^b f(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f(x)} \right)\]


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[ID: 1894] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 429
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit \(f\in E\). D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : \[\left(\int_a^b f(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f(x)} \right)\geqslant\left( \int_{a}^{b} \dfrac{\sqrt f}{\sqrt f}\,\textrm{d} x\right)^2=\left(b-a\right)^2\] donc \(\left(b-a\right)^2 \leqslant\alpha\). Mais la fonction \(f_0\) constante égale à \(1\) sur \(\left[a,b\right]\) est élément de \(E\) et vérifie : \[\left(\int_a^b f_0(x) \mathrm{ \;d}x\right) \left( \int_a^b \dfrac{dx}{f_0(x)} \right) = \left(b-a\right)^2\] donc \(\boxed{\alpha=\left(b-a\right)^2}\).


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