Soit une fonction \(f\) continue sur le segment \([0,1]\). Pour un entier \(k\in \mathbb N\), on note \[I_k= \int_{0}^{1}x^k\left| f(x)\right| \mathrm{ \;d}x\] Montrer que pour \((p,q)\in \mathbb{N}^{2}\), on a \(I_{p+q}^2\leqslant I_{2p}I_{2q}\).


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[ID: 1892] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 865
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

Soit \((p,q)\in \mathbb{N}^{2}\). On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[I_{p+q}^2 = \left(\int_{0}^{1} x^{p+q}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x\right)^2=\left(\int_{0}^{1} x^p\sqrt{\left|f\left(x\right)\right| } x^q\sqrt{\left|f\left(x\right)\right| } \,\textrm{d} x\right)^2\leqslant\int_{0}^{1} x^{2p}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x \int_{0}^{1} x^{2q}\left|f\left(x\right)\right|\,\textrm{d}x= I_{2p}I_{2q}\]


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