Soit deux fonctions continues et positives \(f,g :[0,1] \mapsto \mathbb{R}\). On suppose que \(\forall x \in[0,1]\), \(f(x)g(x)\geqslant 1\). Montrer que \[\left[\int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t \right] \left[ \int_0^1 g(t) \mathrm{ \;d}t \right] \geqslant 1\] Étudier le cas d’égalité.


Barre utilisateur

[ID: 1890] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 933
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquées aux fonctions \(\sqrt f\) et \(\sqrt g\) sur \(\left[0,1\right]\), on a : \[1\leqslant\int_0^1 \sqrt{fg(t)} \mathrm{ \;d}t \leqslant\sqrt{\int_0^1f(t) \mathrm{ \;d}t \int_0^1 g(t) \mathrm{ \;d}t}\] ce qui prouve l’inégalité. Si cette inégalité est une égalité, alors il y a égalité dans Cauchy-Schwarz, et il est nécessaire qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{R}{+}\) tel que \(g = \lambda f\) (ou alors \(f = \lambda g\)). De plus, pour avoir \(1 = \int_0^1 \sqrt{fg(t)}\mathrm{ \;d}t\), il faut que \(\int_0^1 \left[ \sqrt{fg(t)} - 1 \right] \mathrm{ \;d}t = 0\). Comme la fonction intégrée est continue et positive, et que son intégrale est nulle, d’après le cours la fonction est nulle. Par conséquent, les deux fonctions \(f\) et \(g\) doivent être constantes et inverses l’une de l’autre. On vérifie la réciproque facilement.


Documents à télécharger