Soit \(0<a<b\). Montrer que \[\int_a^b \dfrac{dx}{x} < \dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}\] Peut-il y avoir égalité ?


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[ID: 1888] [Date de publication: 12 mai 2021 12:28] [Catégorie(s): Majorations d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 495
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:28

On applique l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions \(f:x\mapsto 1\) et \(g:x\mapsto 1/x\) sur le segment \(\left[a,b\right]\): \[\int_a^b \dfrac{dx}{x} \leqslant (\int_a^b \mathrm{ \;d}x)^{1/2}(\int_a^b \dfrac{dx}{x^2})^{1/2}=\sqrt{b-a}\sqrt{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}=\dfrac{b-a}{\sqrt{ab}}\] On a égalité si et seulement si \(f\) et \(g\) sont proportionnelles sur le segment \([a,b]\) ce qui n’est évidemment pas le cas.


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