Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). On suppose que \(\forall k \in [0,n]\), \(\int_a^b t^k f(t) \mathrm{ \;d}t =0\). Montrer que \(f\) s’annule au moins \(n+1\) fois sur \([a,b]\).


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[ID: 1886] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 766
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:26

Si \(f\) est la fonction identiquement nulle sur \(\left[a,b\right]\) alors le résultat est évident. On suppose dans toute la suite que \(f\) n’est pas identiquement nulle sur \(\left[a,b\right]\).

Remarquons que l’hypothèse de l’énoncé est équivalente au fait que pour tout polynômes \(P\) de degré \(\leqslant n\) alors \(\int_{a}^{b} P\left(t\right)f\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\).

On va montrer par récurrence la propriété \(P_n\) suivante : \[P_n: \left[ \left[\forall k \in [0,n],\quad \int_a^b t^k f(t) \mathrm{ \;d}t =0 \right] \Rightarrow f \textrm{ change au moins $n+1$ fois de signe sur $\left[a,b\right]$}\right].\]

Le résultat découle de cette propriété par application du théorème des valeurs intermédiaires.

Montrons \(P_0\). Si \(f\) ne change pas de signe sur \(\left[a,b\right]\) alors \(f\) est positive ou négative sur \(\left[a,b\right]\) et comme \(f\) n’est pas identiquement nulle sur \(\left[a,b\right]\), on ne peut avoir \(\int_{a}^{b} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\). Donc \(f\) change de signe au moins une fois sur \(\left[a,b\right]\) et \(P_0\) est vraie.

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Supposons que \(P_{n-1}\) est vraie et prouvons que \(P_n\) est vraie. On suppose donc que pour toute fonction polynomiale \(P\) de degré \(\leqslant n\) , \(\int_a^b P\left(t\right) f(t) \mathrm{ \;d}t =0\). D’après l’hypothèse de récurrence, on sait que \(f\) change au moins \(n\) fois de signe sur \(\left[a,b\right]\). Notons \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\left[a,b\right]\) les points de \(\left[a,b\right]\) en lesquels \(f\) change de signe (ce sont des zéros distincts de \(f\)). Notons aussi \(\alpha_0=a\) et \(\alpha_{n+1}=b\). Par l’absurde, supposons que \(f\) ne change pas \(n+1\) fois de signe sur \(\left[a,b\right]\). Considérons une fonction polynomiale \(P\) du signe de \(f\) sur chaque intervalle \(\left[\alpha_i,\alpha_{i+1}\right]\) pour \(i\in\llbracket 0,n\rrbracket\). Une telle fonction existe, il suffit par exemple de considérer \(P\left(t\right)=\left(t-\alpha_1\right)\dots\left(t-\alpha_n\right)\) si \(f\) est positive sur \(\left[\alpha_0,\alpha_1\right]\) ou son opposé si \(f\) est négative sur ce segment. La fonction \(Pf\) est alors positive sur \(\left[a,b\right]\). Mais par hypothèse, son intégrale est nulle donc on devrait avoir \(Pf=0\) ce qui n’est pas possible car ni \(f\) ni \(P\) ne sont nuls. Donc \(f\) change au moins \(n+1\) fois de signe sur \(\left[a,b\right]\) et la propriété est prouvée par récurrence.


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