Soient \(f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) deux fonctions continues. On suppose que \(g \geqslant 0\). Montrer qu’il existe \(c \in[a,b]\) tel que

\[\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t=f(c)\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t\]


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[ID: 1884] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 232
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:26

Si \(g\) est identiquement nulle sur \(\left[a,b\right]\), la propriété est trivialement vérifiée. Supposons que ce ne soit pas le cas. Comme \(g\geqslant 0\), on peut affirmer que \(\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t\neq 0\). De plus : \[\inf_{\left[a,b\right]} f= \dfrac{\inf_{\left[a,b\right]} f\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t}{\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t} \leqslant \dfrac{\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t}{\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t} \leqslant \dfrac{\sup_{\left[a,b\right]} f\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t}{\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t}=\sup_{\left[a,b\right]} f.\] On en déduit que \(\dfrac{\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t}{\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t}\in \left[\inf_{\left[a,b\right]} f ,\sup_{\left[a,b\right]} f\right]\). Comme \(f\) est continue, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur le segment \(\left[a,b\right]\), il existe \(c\in\left[a,b\right]\) tel que \(f\left(c\right)=\dfrac{\int_{a}^{b} f(t)g(t)\,\textrm{d}t}{\int_{a}^{b} g(t)\,\textrm{d}t}\) et l’égalité est prouvée.


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