Soient \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \(a<b\). Trouver les fonctions \(f\) continues sur \([a,b]\) telles que \[\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{ \;d}x = (b-a) \sup_{x\in [a,b]}\Bigl| f(x)\Bigr|\]


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[ID: 1882] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 848
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:26

Soit \(f\) une fonction vérifiant l’égalité ci dessus. Alors : \[\int_{a}^{b} \left(\sup_{\left[a,b\right]} f-f\left(x\right) \right)\,\textrm{d}x=0 .\] Mais \(\sup_{\left[a,b\right]} f-f\) est une fonction continue et positive sur \(\left[a,b\right]\). Comme son intégrale sur \(\left[a,b\right]\) est nulle alors \(\sup_{\left[a,b\right]} f-f\) est nulle et donc \(f\) est constante. On vérifie réciproquement que les fonctions constantes satisfont l’égalité de l’énoncé.


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