Soit \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue sur \([a,b]\). Montrer que:

\[\exists c \in ]a,b[, \quad {\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t=f(c)\]

Poser \(\alpha={\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\) et introduire la fonction \(\varphi:t \mapsto f(t)-\alpha\).

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[ID: 1880] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 293
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:26

Posons \(\alpha={\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\) et considérons \(\varphi:t \mapsto f(t)-\alpha\). La fonction \(\varphi\) est définie et continue sur \([a,b]\) et \(\int_{a}^{b} \varphi\,\textrm{d}t =\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t -\alpha\left(b-a\right)=0\). Donc \(\varphi\) s’annule en un point \(c\in\left[0,1\right]\) et on a \(f(c)={\scriptstyle 1\over\scriptstyle b-a}\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\).

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