On considère une fonction \(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) continue sur \(\left[0,1\right]\) et telle que \(\int_{0}^{1} f(t)\,\textrm{d}t={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). Montrer que \(f\) admet un point fixe.
Introduire la fonction \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & f(t)-t \end{array} \right.\).

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[ID: 1878] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Un théorème de point fixe
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:26

On a \(\int_{0}^{1} \varphi(t)\,\textrm{d}t={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}=0\). Si \(\varphi\) ne change pas de signe sur \(\left[0,1\right]\) alors d’après le cours \(\varphi =0\), Sinon, si \(\varphi\) change de signe sur \(\left[0,1\right]\), comme \(\varphi\) est continue sur \(\left[0,1\right]\), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s’annule sur \(\left[0,1\right]\) et donc \(f\) admet un point fixe.

On peut aussi proposer la solution suivante. Comme \(\int_{0}^{1} f\left(t\right)\,\textrm{d}t=1/2\) il vient que \(\int_{0}^{1} \varphi\left(t\right)\,\textrm{d}t=0\). D’après le théorème de la moyenne, il existe \(c\in\left[0,1\right]\) tel que \(g\left(c\right)=0\) et par construction, \(c\) est un point fixe de \(f\).


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