Considérons une application continue \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) admet une et une seule primitive \(F\) vérifiant \(\int_{0}^{1} F(t)\,\textrm{d}t=0\).


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[ID: 1876] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 292
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:26
  • Supposons qu’il existe deux telles primitives \(F\) et \(G\). Alors \(F=G+C^{te}\). Comme \(\int_{0}^{1} F(t)\,\textrm{d}t=\int_{0}^{1} G(t)\,\textrm{d}t=0\), on a nécessairement \(C^{te}=0\).

  • Soit \(H(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,\textrm{d}t\). La fonction \(F:x \mapsto H(x) - \int_{0}^{1} H(t)\,\textrm{d}t\) répond au problème


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