On considère une fonction \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\). On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\). Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :

  1. \(\left|\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t\right|= \int_{a}^{b} \left|f(t)\right|\,\textrm{d}t\)

  2. \(f\leqslant 0\) ou \(f\geqslant 0\).

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[ID: 1874] [Date de publication: 12 mai 2021 12:26] [Catégorie(s): Propriétés de l'intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 953
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:26

Le sens indirect est trivial. Pour le sens direct, supposons que \(\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t \geqslant 0\). Alors \(\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t = \int_{a}^{b} \left|f(t)\right|\,\textrm{d}t\) et donc \(\int_{a}^{b} \left(\left|f(t)\right|-f(t)\right)\,\textrm{d}t = 0\). La fonction \(\left|f\right|-f\) est continue et positive. On sait que l’intégrale d’une fonction positive est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Donc \(\left|f\right|-f\) est nulle et \(f\) est positive. Le cas \(\int_{a}^{b} f(t)\,\textrm{d}t \leqslant 0\) se traite de la même façon.

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