Calculer l’intégrale \[I = \int_1^2 \sqrt{\dfrac{t-1}{t+1} } \dfrac{dt}{t}\]


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[ID: 1872] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 445
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

C’est une fraction rationnelle en \(t\) et en la racine \(n\)-ième d’une homographie. Posons donc \(u=\sqrt{\dfrac{t-1}{t+1}}\): \[t = \dfrac{u^2+1}{-u^2+1} \quad dt = \dfrac{4u}{(1-u^2)} du\] Donc \[I = \int_0^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt{3}}} \dfrac{4u^2}{(1-u^2)(1+u^2)} du\] et en décomposant en éléments simples cette fraction rationnelle, \[\dfrac{4u^2}{(1-u^2)(1+u^2)} = \dfrac{1}{1+u} -\dfrac{1}{u-1} - \dfrac{2}{u^2+1}\] on trouve finalement : \[I = \ln \left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) - \dfrac{\pi}{3}\]


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