Calculer une primitive de \[F = \int (x+1)^2\sqrt{-x^2-2x+1} dx\] (préciser l’intervalle )


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[ID: 1870] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 557
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

La fonction à primitiver est continue sur le l’intervalle \(I=[-1-\sqrt{2},\sqrt{2}-1]\). On cherche une primitive sur cet intervalle. C’est une primitive d’une fraction rationnelle en \(x\) et la racine d’un trinôme. On commence par réduire le trinôme sous forme canonique : \[-x^2-2x+1 = -( (x+1)^2-2) = 2( 1 - \left( \dfrac{ x+1}{\sqrt{2}} \right) ^2 )\] et après le changement de variables \(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\), on se ramène au calcul d’une primitive sur \(J=[-1,1]\) : \[G = 4\int y^2 \sqrt{ 1 - y^2} dy\] En posant alors \(y=\sin t\), (pour éliminer la racine), on se ramène au calcul d’une primitive sur l’intervalle \(J'=[-\pi/2,\pi/2]\) : \[H = 4 \int \sin^2 t \cos^2 t dt = \int \sin^2 (2t) dt\] qui se calcule en linéarisant. Remplacer ensuite en fonction de \(x\). Terminer le calcul !

Une autre méthode consiste à écrire (\(a\) et \(b\) sont les racines du trinôme avec \(a<b\)) : \[\sqrt{ -x^2-2x+1 } = \sqrt{ (x-a)(b-x)} = (x-a)\sqrt{ \dfrac{b-x}{x-a}}\] et à se ramener au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle en \(x\) et en la racine d’une homographie. Poser alors \(t\) la racine de l’homographie.


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