Calculer \[\int \dfrac{\tan x}{1+\sin^2 x} dx\]


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[ID: 1866] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 479
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On écrit \(\displaystyle\int \dfrac{\sin x\,\textrm dx}{\cos x(1+\sin^2x)} = \int \dfrac{\sin x\cos x\,\textrm dx}{(1-\sin^2x)(1+\sin^2x)}\) et là le changement de variable \(u = \sin^2x\) parait naturel,
\(\dfrac12 \displaystyle\int \dfrac{\textrm du}{(1-u)(1+u)} = \dfrac14 \ln \left( \dfrac{1+u}{1-u}\right) + C = \dfrac14 \ln \left( \dfrac{1+\sin^2x}{1-\sin^2x}\right) + C\).


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