Calculer \[I=\int_a^b x\sqrt{(x-a)(b-x)} dx\]


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[ID: 1864] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 16
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On écrit \((x-a) + (x-b) = 2x - (a+b)\).
Or \(\displaystyle\int_a^b \left( (x-a) + (x-b)\right) \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = \int_a^b (x-a)^{3/2}(b-x)^{1/2}\,\textrm dx - \int_a^b (x-a)^{1/2}(b-x)^{3/2}\,\textrm dx = 0\).
D’où \(2\displaystyle\int_a^b x \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = (a+b)\int_a^b x \sqrt{(x-a)(b-x)}\,\textrm dx = \dfrac{\pi}{2}\left( \dfrac{b-a}{2}\right) ^2\) grâce à l’aire du demi-disque. Le résultat \[\boxed{ I= \dfrac{\pi}{16}(a+b)(b-a)^2 }\] en découle.


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