Calculer \[I=\int \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+2}} \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1860] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 364
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

\[I= \int \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,x\mathrm{ \;d}x\] par le changement de variables \(y=x^2\), \[I=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{y}{\sqrt{y+2}} \mathrm{ \;d}y =\dfrac{1}{2}\int \sqrt{y+2} - \int\dfrac{\mathrm{ \;d}y}{\sqrt{y+2}} =\dfrac{1}{3}(y+2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}} -2\sqrt{y+2}+C\] finalement, \[\boxed{ I=\dfrac{1}{3}(x^2+2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}-2\sqrt{x^2+2} + C }\]


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