Calculer \[I=\int \dfrac{dx}{x\sqrt{6+x-x^2}}\]


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[ID: 1858] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 721
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

En écrivant \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\), \[I=\int \dfrac{dx}{x(3-x)\sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}}\] en effectuant ensuite le changement de variables \(y=\sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}\), \(x=\dfrac{3y^3-2}{y^2+1}\) et \(3-x=\dfrac{5}{y^2+1}\), \(dx=\dfrac{10 y}{(y^2+1)^2}dy\), \[I= \dfrac{2}{3}\int \dfrac{dy}{y^3-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}}\] et finalement, \[\boxed{ I=\dfrac{1}{3} \ln \left\vert \dfrac{ \sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}}{ \sqrt{\dfrac{x+2}{3-x}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\right\vert +C }\]


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