Calculer \[\int \dfrac{x}{(5-4x-x^2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}} dx\]


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[ID: 1856] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 215
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Il faut éliminer les racines: \(x^2+4x-5=(x-1)^2\dfrac{x+5}{x-1}\). Donc \((5-4x-x^2)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}=(1-x)^3\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}\\=(1-x)^2\dfrac{x+5}{1-x}\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\). Posons \(y=\left( \dfrac{x+5}{1-x}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\), alors \(x=\dfrac{y^2-5}{y^2+1}\), \(dx = \dfrac{12y}{(1+y^2)^2}\,dy\) et \(1-x=\dfrac{6}{y^2+1}\). Alors \[I= \dfrac{1}{18}\int \dfrac{y^2-5}{y^2} dy\] et finalement \[\boxed{ I=\dfrac{1}{18}\left( \sqrt{\dfrac{x+5}{1-x}} + 5\sqrt{\dfrac{1-x}{x+5}}\right)+C }\]


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