Calculer \[\int \dfrac{x^2+x+2}{(x^2+2x+3)^3} dx\]


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[ID: 1848] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 430
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

En écrivant \(x^2+2x+3=(x+1)^2+2\) \[\int \dfrac{1}{x^2+2x+3} \mathrm{ \;d}x = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{ \mathrm{ \;d}x}{ \left( \dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2 +1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\int \dfrac{\mathrm{ \;d}y}{1+y^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x+1}{ \sqrt{2}}\right) \quad \left( y=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\] Donc \[\int \dfrac{x+1}{(x^2+2x+3)^2} dx =\dfrac{1}{2}\int \dfrac{2x+2}{(x^2+2x+3)^2} dx = -\dfrac{1}{2} \, \dfrac{1}{x^2+2x+3}\] et donc \[\boxed{ I=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arctan} \left( \dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right) + \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{ x^2+2x+3} +C }\]


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