Calculer \[\int_0^1 \operatorname{arctan} \left( \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1846] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 149
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Par le changement de variables \(t=x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}}\), et par parties. \[\int_0^1 \operatorname{arctan} \left( \sqrt[3]{x}\right) \mathrm{ \;d}x = \int_0^13t^2\operatorname{arctan} t\mathrm{ \;d}t = \left[ t^3\operatorname{arctan} t\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{t^3\mathrm{ \;d}t}{1+t^2} =\left[t^3\operatorname{arctan} t - \dfrac{t^2}2 + \dfrac12 \ln(1+t^2) \right]_0^1 = \dfrac\pi4 - \dfrac 12 + \dfrac12\ln2.\]


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