Calculer \(\int \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+2}}\mathrm{ \;d}x\).


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[ID: 1844] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 490
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Poser \(t=\sqrt{x+2}\), et ensuite un changement de variables en \(\mathop{\mathrm{ch}}\).
\(t^2 = x+2,\; 2t\mathrm{ \;d}t = \mathrm{ \;d}x,\;x+1 = t^2-1\). \[\int \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+2}}\mathrm{ \;d}x = 2\int \dfrac{2+\sqrt{t^2-1}}{1+t}t\mathrm{ \;d}t = 2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u = 2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}(1+\mathop{\mathrm{ch}}u)\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u -2\int \dfrac{2+\mathop{\mathrm{sh}}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u\] \[\phantom{XXX} = 4\int \mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u + 2\int \mathop{\mathrm{sh}}^2u\mathrm{ \;d}u - 4\int \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}u\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u} - 2\int \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}^2 u\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u} = 4\mathop{\mathrm{ch}}u + \mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u - u - 4\ln(1+\mathop{\mathrm{ch}}u) -2 \int \dfrac{(\mathop{\mathrm{ch}}^2 u - 1)\mathrm{ \;d}u}{1+\mathop{\mathrm{ch}}u}\] \[\phantom{XXX} =4\mathop{\mathrm{ch}}u + \mathop{\mathrm{ch}}u\mathop{\mathrm{sh}}u - u - 4\ln(1+\mathop{\mathrm{ch}}u) -2\mathop{\mathrm{sh}}u + 2u + C\] \[\phantom{XXX} = 4\sqrt{x+2}+\sqrt{(x+2)(x+1)} -4\ln(1+\sqrt{x+2})-2\sqrt{x+1}+\ln(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1})+C,\hfill\] puisque \(u = \ln(w+\sqrt{w^2-1})\) avec \(w=\sqrt{x+2}\) et donc \(\sqrt{w^2-1}=\sqrt{x+1}\).


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