Calculer \(\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}\) sur \(I=]1,+\infty[\).


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[ID: 1842] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 892
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Multiplier par les quantités conjuguées et se ramener au calcul de deux primitives simples. \[\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}} = \int\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}2\mathrm{ \;d}x = \dfrac12 \int \mathop{\mathrm{ch}}^2u \mathrm{ \;d}u + \dfrac12 \int \mathop{\mathrm{sh}}^2v \mathrm{ \;d}v\] en posant \(x = \mathop{\mathrm{sh}}u\) puis \(x = \mathop{\mathrm{ch}}v\). Maintenant \[\int \mathop{\mathrm{ch}}^2u \mathrm{ \;d}u = \int \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2u+1}2 \mathrm{ \;d}u = \dfrac14\mathop{\mathrm{sh}}2u +\dfrac u2 + C = \dfrac12 \mathop{\mathrm{sh}}u\mathop{\mathrm{ch}}u+\dfrac u2 + C = \dfrac12 x\sqrt{x^2+1} + \dfrac12 \ln\left( x + \sqrt{x^2+1}\right) + C\] et \[\int \mathop{\mathrm{sh}}^2v \mathrm{ \;d}v = \int \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2v-1}2 \mathrm{ \;d}v = \dfrac14\mathop{\mathrm{sh}}2v -\dfrac v2 + C = \dfrac12 \mathop{\mathrm{ch}}v\mathop{\mathrm{sh}}v-\dfrac v2 + C = \dfrac12 x\sqrt{x^2-1} - \dfrac12 \ln\left( x + \sqrt{x^2-1}\right) + C\] Finalement, \[\int\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}} = \dfrac14\left( x\sqrt{x^2+1} + \ln\left( x + \sqrt{x^2+1}\right) + x\sqrt{x^2-1} - \ln\left( x + \sqrt{x^2-1}\right) \right) + C\]


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