Calculer \(\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x\) sur \(I=[0,1[\).


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[ID: 1840] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 220
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

On pose \(t = \sqrt{\dfrac{x}{1-x}},\; t^2 = \dfrac{x}{1-x},\; x = \dfrac{t^2}{1+t^2} = 1 - \dfrac{1}{1+t^2},\; \mathrm{ \;d}x = \dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1+t^2)^2}\). \[\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x = \int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)}}\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{1-x} = \int t(1+t^2)\dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1+t^2)^2} = 2t - 2\operatorname{arctan} t + C\] D’où \[\int \sqrt{\dfrac{x}{(1-x)^3}}\mathrm{ \;d}x = 2\sqrt{ \dfrac{x}{1-x}}-2\operatorname{arctan} \sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+C\]


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