Calculer \(\int \dfrac{\cos x -\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x\) sur \(\mathbb{R}\) (justifier l’intervalle).


Barre utilisateur

[ID: 1836] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 558
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Séparer en deux primitives pour appliquer la règle de Bioche à chacune. En posant \(u = \cos x\) et \(v=\sin x\), \[\int \dfrac{\cos x -\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x = \int \dfrac{\cos x}{2-\sin^2x}\mathrm{ \;d}x - \int \dfrac{\sin x}{1+\cos^2x}\mathrm{ \;d}x = \int \dfrac{\mathrm{ \;d}v}{2-v^2} + \int \dfrac{\mathrm{ \;d}u}{1+u^2}.\] En posant \(v = \sqrt2 w\; \mathrm{ \;d}v = \sqrt2\mathrm{ \;d}w\), on a \[\int \dfrac{\mathrm{ \;d}v}{2-v^2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\int \dfrac{\mathrm{ \;d}w}{1-w^2} = \dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left\vert \dfrac{1+w}{1-w} \right\vert + C = \dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left( \dfrac{\sqrt2+\sin x}{\sqrt2-\sin x} \right)+C\] D’où \[\dfrac{\sqrt2}{4}\ln\left( \dfrac{\sqrt2+\sin x}{\sqrt2-\sin x} \right) + \operatorname{arctan} \cos x + C\]


Documents à télécharger