Calculer \(\int \dfrac{x^4}{x^2+1}\operatorname{arctan} x \mathrm{ \;d}x\).


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[ID: 1834] [Date de publication: 12 mai 2021 12:20] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 438
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:20

Pour faire disparaître l’arctangente, on intègre par parties. Pour cela, il nous faut une primitive de \(\dfrac{x^4}{x^2+1}\). \[\int \dfrac{x^4}{x^2+1}= \dfrac{x^3}{3}-x + \operatorname{arctan} x +C\] Donc \[\begin{aligned} \int \dfrac{x^4}{(x+1)^2(x^2+1)} \mathrm{ \;d}x & = \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right)\operatorname{arctan} x - \int \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right) \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+1}\\ &= \left( \dfrac{x^3}3-x+\operatorname{arctan} x\right)\operatorname{arctan} x - \dfrac13 \int \dfrac{(x^3+x)\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} - \dfrac13 \int \dfrac{4x\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} - \int \dfrac{\operatorname{arctan} x\mathrm{ \;d}x}{x^2+1} \\ &= \dfrac{1}{2}(\operatorname{arctan} x)^2 +\left( \dfrac{x^3}{3}-x\right) \operatorname{arctan} x -\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{2}{3}\ln(x^2+1) + C\end{aligned}\]


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