Calculer \(\int_0^1 \dfrac{x^3+x+1}{(x^2+2)^2} \mathrm{ \;d}x\).


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[ID: 1830] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 494
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

\[\int_0^1 \dfrac{x^3+x+1}{(x^2+2)^2} \mathrm{ \;d}x = \int_0^1 \dfrac{x^3+2x}{(x^2+2)^2} + \dfrac{-x+1}{(x^2+2)^2}\mathrm{ \;d}x = \int_0^1 \dfrac{x\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} - \dfrac12\int_0^1 \dfrac{2x\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2} + \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2} = \left[ \dfrac12 \ln(x^2+2) + \dfrac{1}{2(x^2+2)}\right]_0^1 + \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{(x^2+2)^2}\] Le terme tout intégré vaut \(\dfrac12 \ln {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2} - \dfrac1{12}\), et, en intégrant par parties, \[\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = \left[ \dfrac{x}{x^2+2} \right]_0^1 + 2 \int_0^1 \dfrac{(x^2+2)\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} - 4\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = -\dfrac13 + 2 \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2}+ 4 \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2}.\] Or \[\int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2+2} = \int_0^{\sqrt2/2} \dfrac{\sqrt2 \mathrm{ \;d}u}{2u^2+2} = \dfrac{\sqrt2}{2} \operatorname{arctan} \left( \dfrac{\sqrt2}{2}\right)\] On trouve que \[\boxed{ I = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt 2}{2} \operatorname{arctan} \left( \dfrac{\sqrt 2}{2}\right)}\]


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