Calculer l’intégrale \[I=\int_0^1 \sqrt{x(1-x)} dx\]


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[ID: 1828] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 542
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

On peut écrire \(x(1-x)=-(x^2-x)=-((x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4})\) Donc \[I=\int_0^1 \sqrt{ \dfrac{1}{4}-(x-\dfrac{1}{2})^2} dx\] et en posant \(y=x-\dfrac{1}{2}\), \(dy=dx\), \[I=\dfrac{1}{2}\int_{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} \sqrt{\dfrac{1}{4}-(2y)^2}dy\] Par le changement de variables \(z=2y\), \(dy=\dfrac{dz}{2}\), \[I= \dfrac{1}{4}\int_{-1}^1 \sqrt{1-z^2} dz = \dfrac{1}{4}\int_{-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \cos^2 t dt = \boxed{\dfrac{\pi}{8}}\]

On peut retrouver ce résultat en étudiant la courbe \(y=\sqrt{x(1-x)}\) : \(y^2=x(1-x)\) donc \(x^2+y^2-x=0\), \((x-\dfrac{1}{2})^2+y^2 = \dfrac{1}{4}\). C’est le demi-cercle centré en \(({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2},0)\) de rayon \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\). L’intégrale cherchée est donc la demi-aire d’un disque de rayon \(\dfrac{1}{2}\) qui vaut \(\dfrac{\pi}{8}\).


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