Calculer \(\int_0^1 \dfrac{t}{(t^4 + t^2 + 1)^2} \mathrm{ \;d}t\).


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[ID: 1826] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 376
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

En posant \(t^2 = x\), \[\int_0^1 \dfrac{t\,\textrm dt}{(t^4+t^2+1)^2} = \dfrac12 \int_0^1 \dfrac{\textrm dx}{(x^2+1)^2}.\] \[\int_0^1 \dfrac{\textrm dx}{(x^2+1)^2} = \left[ {2 \operatorname{arctan} \left( {2x +1 \over \sqrt{3}} \right) \over 3 \sqrt{3}} + {2x +1 \over 3(x^2 +x +1)}\right]_0^1 = \dfrac{2}{3\sqrt3}\left( \dfrac\pi3 - \dfrac\pi6\right) = \dfrac{\pi}{9\sqrt3}.\]


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