Calculer \(I = \int_0^1 \dfrac{t^5}{(t^4 + 1)^2} \mathrm{ \;d}t\).


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[ID: 1824] [Date de publication: 12 mai 2021 12:19] [Catégorie(s): Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 521
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:19

En posant \(t^2 = x\), \[\int_0^1 \dfrac{t^5\,\textrm dt}{(t^4+1)^2} = \dfrac12 \int_0^1 \dfrac{x^2\,\textrm dx}{(x^2+1)^2}.\] En intégrant par parties, \(\left\lbrace \begin{array}{rclrcl} u(x) &=& x & u'(x) &=& 1,\\ v'(x) &=& \dfrac{x}{(x^2+1)^2} & v(x) &=& -\dfrac{1}{2(x^2+1)} \end{array}\right.\) \[\int_0^1 \dfrac{t^5\,\textrm dt}{(t^4+1)^2} = -\dfrac14 \left[ \dfrac{x}{x^2+1}\right]_0^1 + \dfrac14 \int_0^1 \dfrac{\,\textrm dx}{x^2+1} = \dfrac{\pi}{16} - \dfrac18.\]


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