Calculer en utilisant un bon changement de variables l’intégrale \[I=\int_0^{\pi} \dfrac{x\sin x}{1+\cos ^2x} \mathrm{ \;d}x\]

Comment laisser les fonctions \(\sin x\), \(\cos^2 x\) et les bornes invariantes?

Barre utilisateur

[ID: 1822] [Date de publication: 12 mai 2021 12:14] [Catégorie(s): Changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 668
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:14

On effectue le changement de variables \(\begin{cases}t=\pi-x\\\mathrm{ \;d}t = -\mathrm{ \;d}x\end{cases}\). On trouve que \[I=-\int_{0}^{\pi} \dfrac{\left(-\pi+t\right)\sin t}{1+\cos^2 t}\,\textrm{d}t\] et donc que \(2I= \int_0^{\pi} \dfrac{ \pi \sin t}{1+\cos^2 t} \mathrm{ \;d}t\). On effectue ensuite le changement de variables \(\begin{cases}u=\cos t\\ \mathrm{ \;d}u = -\sin t \mathrm{ \;d}t\end{cases}\) et on trouve finalement que \[I= -\dfrac{1}{2}\int_{1}^{-1} \dfrac{\pi}{1+u^2}\,\textrm{d}u=-\dfrac{\pi}{2}\Bigl[ \operatorname{arctan} u \Bigr]_{1}^{-1} =\boxed{\dfrac{\pi^2}{4}}.\]


Documents à télécharger