Soit un réel \(a > 0\). Calculer en utilisant un bon changement de variables, l’intégrale \[I=\int_{1/a}^a \dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2} \mathrm{ \;d}x\]

Comment laisser les bornes invariantes ?

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[ID: 1820] [Date de publication: 12 mai 2021 12:14] [Catégorie(s): Changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 601
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:14

On effectue le changement de variables \(\begin{cases}t={\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\\ \mathrm{ \;d}t = -\dfrac{\mathrm{ \;d}x}{x^2}\end{cases}\) : \[I=-\int_{a}^{1/a} \dfrac{t\ln {\scriptstyle 1\over\scriptstyle t}}{\left(1+t^2\right)^2} \,\textrm{d} t = -\int_{1/a}^{a} \dfrac{t\ln t}{\left(1+t^2\right)^2} \,\textrm{d} t=-I\] et de ce fait \(\boxed{I=0}\).


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